Question

如图，矩形ABCD中，

AB

BC

=

5

6

，点E在BC上，点F在CD上，且EC=

1

6

BC，FC=

3

5

CD，FG⊥AE于G，则AG：GE=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：易得

AD

CF

=

DF

CE

=2，则△CEF∽△DFA，得

AF

EF

=2与∠AFE=90°．所以通过相似三角形：．△AFG∽△FEG，△AFE∽△AGF的对应边成比例得到

AF

EF

=

AG

FG

=

FG

EG

=2，则AG=2FG，EG=

1

2

FG，由此易证得结论．

解答：解：矩形ABCD中，

AB

BC

=

5

6

，点E在BC上，点F在CD上，且EC=

1

6

BC，FC=

3

5

CD，FG⊥AE于G，
∴DF=

2

5

CD，
∴

AD

CF

=2，

DF

CE

=2，
∴

AD

CF

=

DF

CE

，
又∵∠ECF=∠FDF，
∴△CEF∽△DFA，
∴

AF

EF

=

AD

CF

=2，
，∠AFD=∠FEC，
∴∠AFD+∠CFE=∠FEC+∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°．
又∵FG⊥AE，
∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG，
∴

AF

AG

=

EF

FG

，．
即：

AF

EF

=

AG

FG

=2，则AG=2FG．

AF

EF

=

FG

EG

=2，∴EG=

1

2

FG，
∴AG=4EG．
AG：GE=1：4；
故答案为：1：4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质．此题难度较大，知识综合性较强．在判定两个三角形相似时，要注意充分利用公共角这一条件．