Question

△ABC中，D为CB的延长线上一点，BE是∠ABD的角平分线，AE⊥BE，F是AC的中点，试说明：EF∥BC，且EF=

1

2

（AB+BC）．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AE交CD于G，先证明△ABE全等于△GBE，再证明EF是△ACG的中位线，再根据三角形的中位线平行且等于第三边的一半，问题得证．

解答：证明：延长AE交CD于G，
∵BE是∠ABD的角平分线，
∴∠ABE=∠GBE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠GBE，
在△ABE和△GBE中，

∠ABE=∠GBE BE=BE ∠AEB=∠GEB

，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=GE，
即E是AG的中点，
∵F是AC的中点，
∴EF是△ACG的中位线．
∴EF∥BC，
∵AB=BG，
∴CG=AB+BC，
∴EF=

1

2

（AB+BC）．

点评：本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度中等，是一道不错的中考题．