Question

【题目】如图：

（1）如图1，将长方形纸片ABFE沿着线段DC折叠，CF交AD于点H，过点H作HG∥DC，交线段CB于点G．

①判断∠FHG与∠EDC是否相等，并说明理由；

②说明HG平分∠AHC的理由．

（2）如图2，如果将(1)中的已知条件改为折叠三角形纸片ABE，其它条件不变．HG是否平分∠AHC？如果平分请说明理由；如果不平分，请找出∠CHG，∠AHG与∠E的数量关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠FHG=∠EDC，见解析；②见解析；（2）HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E，见解析.

【解析】

（1） ①根据平行线性质得∠EDA＝∠FHA，∠ADC＝∠AHG，由角的计算即可得证.

② HG平分∠AHC，理由如下：将图形折回到其原始状态，E的对应点为N，F的对应点为M，由折叠性质知：∠FCD＝∠DCM，根据平行线性质得：∠DCM＝∠HGC，∠DCH＝∠CHG，∠CGH＝∠AHG，等量代换得∠CHG＝∠AHG，根据角平分线定义即可得证.

（2） HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E；理由如下：如图：延长线段AD和BC交于点F，根据平行线性质得：∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，∠AHG＝∠ADC，由三角形内角和定理、等量代换即可得证.

（1）①如图1，

∵DE∥CF，

∴∠EDA＝∠FHA(两直线平行，同位角相等)，

∵HG∥DC，

∠ADC＝∠AHG(两直线平行，同位角相等)，

∴∠EDA +∠ADC=∠FHA +∠AHG，

∴∠FHG=∠EDC.

② HG平分∠AHC，理由如下：

将图形折回到其原始状态，E的对应点为N，F的对应点为M，

由折叠知∠FCD＝∠DCM．

∵HG∥DC，

∴∠DCM＝∠HGC(两直线平行，同位角相等)，

∠DCH＝∠CHG(两直线平行，内错角相等)，

∵AD∥BC，

∴∠CGH＝∠AHG(两直线平行，内错角相等)，

∴∠CHG＝∠AHG，

即HG平分∠AHC．

（2）HG不再平分∠AHC．∠AHG＝∠CHG＋∠E．

理由如下：

如图2，延长线段AD和BC交于点F，

得到∠ECD＝∠FCD．

∵HG∥DC，

∴∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，

∠AHG＝∠ADC，

∵∠ADC＋∠FDC＝180

又∵∠F＋∠FCD＋∠FDC＝180

∴∠AHG＝∠CHG＋∠E