Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△APC为等腰三角形．
（2）当点Q在线段BC上运动时，△PBQ的面积为S（cm²），写出S与t之间的函数关系．
（3）当点Q在线段BC上运动时，是否存在某一时刻t，使S_△PBQ：S_{四边形APQC}=5：3？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BQ平分∠ABC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情形讨论求解①当AP=PB时，可以证明PA=PC．②当AC=AP时；
（2）当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，由△QHB∽△ACB，推出$\frac{QH}{AC}$=$\frac{QB}{AB}$，可得QH=$\frac{8}{5}$xcm，根据y=$\frac{1}{2}$BP•QH，列出式子即可；
（3）存在．如图作QH⊥AB于H．由S_△PBQ：S_{四边形APQC}=5：3，可得-$\frac{4}{5}$x²+8x=$\frac{5}{8}$×$\frac{1}{2}$×6×8，解方程即可解决问题；
（4）存在．如图作QH⊥AB于H．首先证明QC=QH=2t-6，由△AQH∽△ABC，可得$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QH}{BC}$，推出$\frac{14-2t}{10}$=$\frac{2t-6}{6}$，解方程即可解决问题；

解答 解：（1）①当AP=PB时，∵∠ACB=90°，
∴CP=PA=PB，
∴t=5，
②当AC=AP时，t=8，
∴t=5s或8s时，△APC是等腰三角形．

（2）当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，

∵AP=xcm，
∴BP=（10-x）cm，BQ=2xcm，
∵△QHB∽△ACB，
∴$\frac{QH}{AC}$=$\frac{QB}{AB}$，
∴QH=$\frac{8}{5}$xcm，
y=$\frac{1}{2}$BP•QH=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{8}{5}$x=-$\frac{4}{5}$x²+8x（0＜x≤3）．

（3）存在．∵S_△PBQ：S_{四边形APQC}=5：3，
∴-$\frac{4}{5}$x²+8x=$\frac{5}{8}$×$\frac{1}{2}$×6×8，
解得x=$\frac{15}{2}$或$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{15}{2}$s或$\frac{5}{2}$s时，S_△PBQ：S_{四边形APQC}=5：3．

（4）存在．如图作QH⊥AB于H．

∵∠QBC=∠QBA，QC⊥BC，QH⊥AB，
∴QC=QH=2t-6，AQ=14-2t，
∵∠A=∠A，∠AHQ=∠C=90°，
∴△AQH∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QH}{BC}$，
∴$\frac{14-2t}{10}$=$\frac{2t-6}{6}$，
∴t=$\frac{9}{2}$，
∴t=$\frac{9}{2}$s时，BQ平分∠ABC．

点评 本题考查四边形综合题、定义是矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．