Question

9．我们把有一组邻边相等，一组对边平行但不相等的四边形称作“准菱形”．
（1）证明“准菱形”性质：“准菱形”的一条对角线平分一个内角．
（要求：根据图1写出已知，求证，证明）
已知：如图，“准菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）
求证：BD平分∠ABC．
证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA．
∴∠ABD=∠DBC．
即BD平分∠ABC
（2）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．若点D，E分别在边BC，AC上，且四边形ABDE为“准菱形”．请在下列给出的△ABC中（图2），作出满足条件的所有“准菱形”ABDE，并写出相应DE的长．（所给△ABC不一定都用，不够可添）

Answer 1

分析 （1）根据准菱形的定义写出已知，结合图形写出求证，利用平行线的性质定理进行证明；
（2）分AE=AB，DE∥AB、BA=BD，DE∥AB、EA=ED，DE∥AB、DE=BD，DE∥AB四种情况，利用相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．

解答 解：（1）已知：如图，“准菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）．
求证：BD平分∠ABC．
证明：
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA．
∴∠ABD=∠DBC．
即BD平分∠ABC；
故答案为：如图，“准菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）；BD平分∠ABC；∵AB=AD，∴∠ABD=∠BDA，又∵AD∥BC，∴∠DBC=∠BDA．∴∠ABD=∠DBC．即BD平分∠ABC；
（2）可以作出如下四种图形，
∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=5，
如图2，当AE=AB，DE∥AB时，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{1}{4}$，
解得，DE=$\frac{3}{4}$；
如图3，当BA=BD，DE∥AB时，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得，DE=$\frac{6}{5}$；
如图4，当EA=ED，DE∥AB时，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{4-DE}{4}$，
解得，DE=$\frac{12}{7}$；
如图5，当DE=BD，DE∥AB时，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{5-DE}{5}$，
解得，DE=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查的是新定义、相似三角形的判定和性质，正确理解准菱形的定义、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，在解答时注意分情况讨论思想是灵活运用．