Question

6．已知抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S_△AOP=4S_△BOC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的解析式利用二次函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标，再结合S_△AOP=4S_△BOC即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程求出x的值，由此即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的函数表达式为y=-x²-2x+3．
（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），
∴点B（1，0）．
设点P（x，-x²-2x+3），
∵S_△AOP=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|-x²-2x+3|=4×$\frac{1}{2}$×1×3，
整理，得：（x+1）²=0或x²+2x-7=0，
解得：x=-1或x=-1±$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（-1，4）或（-1+$\sqrt{2}$，-4）或（-1-$\sqrt{2}$，-4）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．