Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC²=PE•PO．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若OE=AE=1，求证∠PCA=∠B，并求sin∠PCA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，根据PC²=PE•PO和∠P=∠P，证△PCO∽△PEC，推出∠PCO=∠PEC，求出∠PCO=90°即可；
（2）根据PC是⊙O的切线和AB为⊙O的直径，求出∠BCO=∠PCA，推出∠PCA=∠B，求出OE=1，AE=2，OC=OB=OA=3，BE=4，根据勾股定理求出EC=2，求出BC=2，根据sin∠PCA=sin∠B=，代入求出即可．
解答：（1）证明：连接OC，
∵PC²=PE•PO，
∴，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，且OC为半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：∵PC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=∠PCO=90°，
∴∠BCO=∠PCA，
又∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∴∠PCA=∠B，
∵OE=AE=1，
∴OE=1，AE=2，OC=OB=OA=3，BE=4，
∵CD⊥AB，
∴EC===2，
∴BC===2，
∴sin∠PCA=sin∠B===．
点评：本题综合考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．