题目内容

如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数 $数学公式$ 的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是

A.
12
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：先由∠ACB=90°，BC=4，得出B点纵坐标为4，根据点B在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，求出B点坐标为（3，4），则OC=3，再解Rt△ABC，得出AC=4 $\text{[math]}$ ，则OA=4 $\text{[math]}$ -3．设AB与y轴交于点D，由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求得OD=4- $\text{[math]}$ ，最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
解答：

解：∵∠ACB=90°，BC=4，
∴B点纵坐标为4，
∵点B在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，
∴当y=4时，x=3，即B点坐标为（3，4），
∴OC=3．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，AC= $\text{[math]}$ BC=4 $\text{[math]}$ ，OA=AC-OC=4 $\text{[math]}$ -3．
设AB与y轴交于点D．
∵OD∥BC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得OD=4- $\text{[math]}$ ，
∴阴影部分的面积是： $\text{[math]}$ （OD+BC）•OC= $\text{[math]}$ （4- $\text{[math]}$ +4）×3=12- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30度角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，梯形的面积公式，难度适中，求出B点坐标及OD的长度是解题的关键．