Question

14．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形-正八边形．

（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于$\frac{15}{8}$．

Answer 1

分析 （1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=$\frac{360}{8}×$3=135°得到$\widehat{AD}$的长=$\frac{135π×5}{180}=\frac{15}{4}π$，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．

解答 （1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，

（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOD=$\frac{360}{8}×$3=135°，
∵OA=5，
∴$\widehat{AD}$的长=$\frac{135π×5}{180}=\frac{15}{4}π$，
设这个圆锥底面圆的半径为R，
∴2πR=$\frac{15}{4}π$，
∴R=$\frac{15}{8}$，即这个圆锥底面圆的半径为$\frac{15}{8}$．
故答案为：$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．