Question

（本题满分10分）

猜想与证明：

如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．

拓展与延伸：

（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 ．

（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．

Answer 1

猜想与证明：DM=ME；拓展与延伸：（1）DM=ME．（2）成立，见解析.

【解析】

试题分析：猜想与证明：观察图形可猜想DM=ME；延长EM交AD于点H，只需证明HM=EM，利用直角三角形的性质便可证明HM=DM=EM，因此根据条件证明△FME≌△AMH即可；拓展与延伸：（1）观察图形可得出结论：DM=ME；（2）连接AE，说明△AEF是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得ME=MF=MA,得证.

试题解析：

【解析】
猜想：DM=ME

证明：如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．

（1）如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME，故答案为：DM=ME．

（2）如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，

在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME， ∴DM=ME．

考点：1.矩形的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定与性质；4.直角三角形的性质.

考点分析： 考点1：四边形 四边形：四边形的初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。主要考察内容：①多边形的内角和，外角和等问题②图形的镶嵌问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。突破方法：①掌握多边形，四边形的性质和判定方法。熟记各项公式。②注意利用四边形的性质进行有关四边形的证明。③注意开放性题目的解答，多种情况分析。 试题属性

• 题型：
• 难度：
• 考核：
• 年级：