Question

如图1，抛物线y=ax²+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由于抛物线y=ax²+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；

（2）将点D（m，m+1）代入y=﹣x²+3x+4中，得到D（3，4），得到CD∥x轴，由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，根据等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；再关于直线的对称点的性质即可求解；

 （3）根据待定系数法可求直线BC的解析式，再根据三角形面积公式和二次函数的最值即可求解；

（4）根据抛物线y=﹣x²+3x+4的顶点坐标得到E，直线BC：y=﹣x+4；当时，y=﹣+4=，可得，根据两点间的距离公式可得，如图3，过点M作MN∥EF，交抛物线于点N，设N（x，﹣x²+3x+4），则M（x，﹣x+4）；则MN=|（﹣x²+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|﹣x²+4x|；当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，则|﹣x²+4x|=，解方程可求点N的坐标．

【解答】解：（1）依题意，有：，

解得．

故抛物线的解析式：y=﹣x²+3x+4．             

（2）将点D（m，m+1）代入y=﹣x²+3x+4中，得：﹣m²+3m+4=m+1，

化简，得：m²﹣2m﹣3=0，

解得：m₁=﹣1（舍），m₂=3；

∴D（3，4），

∴CD∥x轴；

由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；

设点D关于直线BC的对称点为点E，则点E在y轴上，且CD=CE=3，OE=OC﹣CE=1，则：

点D关于直线BC的对称点的坐标为（0，1）．      

（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=﹣x+4；

如图2，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x²+3x+4），则Q（x，﹣x+4）；

则PQ=（﹣x²+3x+4）﹣（﹣x+4）=﹣x²+4x；

S_△PCB=PQ•OB=×（﹣x²+4x）×4=﹣2（x﹣2）²+8；

所以，当P（2，6）时，△PCB的面积最大．        

（4）存在．

抛物线y=﹣x²+3x+4的顶点坐标E，

直线BC：y=﹣x+4；当时，y=﹣+4=，

则，

则，

如图3，过点M作MN∥EF，交抛物线于点N，设N（x，﹣x²+3x+4），则M（x，﹣x+4）；

则MN=|（﹣x²+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|﹣x²+4x|；

当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，

则|﹣x²+4x|=

由，解得（不合题意，舍去），，

则，

由，解得，

则N₂（）；N₃（2﹣，﹣+）；

综上所述，存在平行四边形，点N的坐标为，N₂（）；N₃（2﹣，﹣+）．

【点评】考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，关于直线的对称点的性质，待定系数法求直线B解析式，三角形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，平行四边形的性质等知识点，以及方程思想，分类思想的应用，综合性较强，难度较大．