Question

【题目】在中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边长，则称为的中内弧．例如下图中是的一条中内弧．

（1）如图，在中，，，分别是，的中点．画出的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点，，，，，分别是，，的中点．

①若，直接写出的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；

②若在中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边长，直接写出的取值范围；

③若在中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边长，则的最小值为__________．

Answer 1

【答案】（1）图见解析，；（2）①或；②；③

【解析】

（1）先根据中内弧的概念确认最长时圆的位置，再根据等腰直角三角形、勾股定理求解即可；

（2）①结合（1）中的结论确定中内弧为最长弧时的位置，从而得到临界位置，再利用数形结合确定点P的纵坐标的取值范围即可；

②先分别求出点P在两个临界位置（即在x轴上和在BC上）时t的值，再根据中内弧的定义、相似三角形的判定与性质即可得出t的取值范围；

③先参照②的方法，求出t的取值范围，再根据三角函数值求出，然后根据二次函数的性质求出的取值范围，从而可得出答案．

（1）由题意可知，的圆心在DE的垂直平分线上，即在BC的垂直平分线上，当圆心为DE的中点时，与BC相切，此时是的最长的中内弧

，分别是，的中点

所在圆的半径为

则的长为；

（2）①如图，当时，

则

由题意知，中内弧所在圆的圆心在DF的垂直平分线PQ上，即在上

分以下两种情况：

当中内弧在DF下方时

由（1）可知，当P为DF中点时是一个临界位置

此时，点P坐标为

由中内弧的定义可知，当点P纵坐标时，所有的都是中内弧

当中内弧在DF上方时

圆P与BC相切是一个临界位置，此时

由中位线定理得

是等腰直角三角形，

，即

由中内弧的定义可知，当点P纵坐标时，所有的都是中内弧

综上，纵坐标的取值范围为或；

②，分别是，的中点

如图，当点P在AC上，且圆P与BC相切于点F时，则

过点F作

又

，即

解得或（舍去）

则当时，中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边长

如图，当点P在BC上时，圆P与AC相切于点N，则

，即

，即

解得

则当时，中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边长

综上，所求的t的取值范围为；

③，分别是，的中点

如图，当点Q在AC上，且圆Q与BC相切于点G，连接DQ

设，则

，即

解得

在中，，即

将代入解得：（其中，负值不符题意，舍去）

则当时，中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边长

如图，当点Q在BC上时，圆Q与分别相切于点，连接

则四边形ADQE是正方形，

由中位线定理得

，解得

则当时，中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边长

综上，t的取值范围为

要使的最小，则要取得最大值

由二次函数的性质可知，当时，随着的增大而增大

则当时，取得最大值，最大值为

因此，的最小值为．