Question

3．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠B=30°，则∠ACD的度数是30度；
拓展：如图②，∠MCN=90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分别为D、E，若∠CBE=70°，求∠CAD的度数；
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连接AD、BE，若∠ADP=∠BEP=60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB=120度．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；
（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；
（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=30°；
故答案为：30，
（2）∵BE⊥CP，
∴∠BEC=90°，
∵∠CBE=70°，
∴∠BCE=90°-∠CBE=20°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°-∠BCE=70°，
∵AD⊥CP，
∴∠CAD=90°-∠ACD=20°；
（3）∵∠ADP是△ACD的外角，
∴∠ADP=∠ACD+∠CAD=60°，
同理，∠BEP=∠BCE+∠CBE=60°，
∴∠CAD+∠CBE+∠ACB=∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE=（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）=120°，
故答案为120．

点评 此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直的定义，解本题的关键是充分利用直角三角形的性质：两锐角互余，是一道比较简单的综合题．