题目内容
【题目】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) EF＝
.
【解析】
（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
(1)证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴BE＝EC＝AE.
∴四边形AECD是菱形．
(2)解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理得AC＝8.
再根据面积关系，有S△ABC＝
BC·AH＝AB·AC，
∴AH＝.
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5.
∵S菱形AECD＝CD·EF＝CE·AH，
∴EF＝AH＝.
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