题目内容

观察下列各式
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
4
-
3
…利用上述三个等式及其变化过程，
计算
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2009
+
2008
的值．
分析：把所有加数分母有理化，再合并同类二次根式即可．
解答：解：
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2009
+
2008

=
2
-1+
3
-
2
+
4
-
3
+…+
2009
-
2008

=
2009
-1．
点评：此题考查分母有理化的应用，合并同类二次根式是关键．
练习册系列答案
相关题目
观察下列各式
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
4
-
3
…利用上述三个等式及其变化过程，
计算
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2006
+
2005
的值．
观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…
（1）根据以上式子填空：
①
1
8×9
=
 
；  ②
1
n×(n+1)
=
 
（n是正整数）
（2）根据以上式子及你所发现的规律计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
…+
1
2007×2008
+
1
2008×2009
观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，…
请你把猜想到的规律用含正整数n的式子表示出来，
（1）猜想与总结
1
n(n+1)
=
 
（n≥1且为正整数）；
（2）利用以上规律计算
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
99×100
的值．
阅读理解并回答问题．
（1）观察下列各式：
1
2
=
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
6
=
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
12
=
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
20
=
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，…
（2）请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示
1
x(x+1)
=
1
x
-
1
x+1
1
x
-
1
x+1

（3）请利用上述规律，解方程
1
(x-4)(x-3)
+
1
(x-3)(x-2)
+
1
(x-2)(x-1)
+
1
(x-1)x
+
1
x(x+1)
=
1
x+1
．

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