Question

阅读理解并回答问题．
（1）观察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…
（2）请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

（3）请利用上述规律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（2）观察（1），可得规律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；
（3）由（2）中的规律，可将原方程化为

1

x-4

-

1

x-3

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，即可得

1

x-4

=

2

x+1

，解此方程即可求得答案．

解答：解：（2）由（1）可得：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；

（3）原方程变形为：

1

x-4

-

1

x-3

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
即

1

x-4

=

2

x+1

，
∴x+1=2（x-4），
解得：x=9，
检验：左边=

1

10

，右边=

1

10

，即x=9是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为：x=9．

点评：此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法．此题难度适中，解题的关键是得到规律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．