Question

如图：已知⊙O中，AB=4

3

，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．求圆中阴影部分所围成圆锥的高．

Answer 1

分析：先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为120度，直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得圆锥的底面圆的半径，进而利用勾股定理得出即可．

解答：解：过O作OE⊥AB于E，则
AE=

1

2

AB=2

3

．
在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=

AE

OA

．
∴OA=

AE

cos30°

=

2 3

3 2

=4．
又∵OA=OB，
∴∠ABO=30°．
∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，
∴

BC

=

CD

．
∴∠COD=∠BOC=60°．
∴∠BOD=120°．
设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴2πr=

120

180

π×4．
∴r=

4

3

，
∴阴影部分所围成圆锥的高为：

42-( 4 3 )2

=

8 2

3

．

点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图与底面周长之间的关系和垂径定理等知识，求出圆的半径是解题关键．