题目内容

已知直线y=x+4与y轴交于点C，与x轴交于点A．
（1）求线段AC的长度；
（2）若抛物线 $数学公式$ 过点C、A，且与x轴交于另一点B，将直线AC沿y轴向下平移m个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点D，与抛物线交于点N（N在抛物线对称轴的左边），与直线BC交于点E．
①是否存在这样的m，使得△CAD是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
②在直线AC平移的过程中，是否存在m值，使得△CDE的面积最大．若存在，请求出m值，若不存在，请说明理由．

解：（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4）
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0）
在Rt△AOC中，OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴AC= $\text{[math]}$ ．

（2）①抛物线经过点A、C，则：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
∴抛物线所对应的函数关系式为 $\text{[math]}$ ；
∵△CAD是以AC为底的等腰三角形，
∴点D在AC的垂直平分线上，
此时点D与原点重合，即D（0，0），
∴m=OC=4；
则平移后的直线所对应的函数关系式为y=x，
∵点N是抛物线 $\text{[math]}$ 与直线y=x的交点，
∴设点N（a，a），
则 $\text{[math]}$ ，
解得a= $\text{[math]}$ ；
∵点N在抛物线对称轴的左侧，
∴N（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
②设△CDE的面积为S，
在 $\text{[math]}$ 中，令y=0，
解得x=-4或x=2，
∴B（2，0），AB=6，
当点D在点B的左侧时，即当0＜m≤6时（如图），
平移后的直线为y=x+4-m，
当y=0时，x=m-4．
∴D（m-4，0），
∴BD=2-（m-4）=6-m；
过点E作EF⊥AB于点F，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线m=3，
∵顶点（3，3）的横坐标在范围0＜m≤6内，
∴当m=3，S有最大值为3；
当点D在点B的右侧时，即当m＞6时（如图），
平移后的直线所对应的函数关系式为y=x+4-m，
当y=0时，x=m-4，

∴D（m-4，0），
∴BD=m-4-2=m-6；
过点E作EG⊥AB于点G，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴抛物线开口向上，对称轴为m=3，
∵在抛物线对称轴的右侧，S随着m的增大而增大，
∴当m＞6时，S没有最大值；
综上得，在直线AC平移的过程中，存在m值，当m=3，S有最大值为3，使得△CDE的面积最大．
分析：（1）根据直线AC的解析式，可得到A、C的坐标，进而利用勾股定理求得线段AC的长．
（2）①根据A、C的坐标，可利用待定系数法确定该抛物线的解析式，然后用m表示出平移后的直线解析式，由（1）知△OAC是等腰直角三角形，若△CAD是以AC为底的等腰三角形，那么点D必为线段CA的垂直平分线与x轴的交点，即D、O重合，由此求得m的值，进而可确定平移后的直线解析式，联立抛物线的解析式，即可求得N点的坐标．
②此题应分两种情况考虑：
1）当D在B点左侧时，即0＜m≤6时；过E作EF⊥x轴于F，根据抛物线和平移后的直线解析式，可得到B、D的坐标，进而可求得BD、BA的长，由于平移前后的直线互相平行，则可证得△BDE∽△BAC，因此BD：BA=EF：OC，由此可求得EF的表达式，进而可求出△BDC和△BDE的面积，那么两个三角形的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出S是否具有最大值以及对应的m的值；
2）当D在B点右侧时，即m＞6时，方法同上．
点评：此题考查的知识点有：勾股定理、二次函数解析的确定、相似三角形的判定和性质以及图形面积的求法等重要知识；在求图形面积的最大（小）问题时，将其转化为二次函数的最值问题是常用的方法．