Question

如图，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm，矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC的重叠部分的面积为S（cm²），当x=0（s）时，点E与点C重合。

（1）当x=3时，如图（2），S=______cm²，当x=6时，S=_______cm²，当x=9时，S=______cm²；
（2）当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
（3）当6＜x＜9时，求S关于x的函数关系式；
（4）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

Answer 1

解：（1）36，54，18；
（2）设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H，与直角边AC的交点为M
BE=12-2x，AM=12-6=6
∴S=S_△ABC-S_△AMN -S_△BHE=×12×12-×6×6-×（12-2x）²
=-2x²+24x-18
所以，当3＜x＜6时，S=-2x²+24x-18。
（3）设矩形DEFG与斜边AB的交点为M，延长FG交AC于点H
AH=12-6=6，HG=2x-12
∴S=S_△ABC-S_△AHM-S_矩形HCDG
=×12×12-×6×6-×6×（2x-12）
=-12x+126
所以， 当6＜x＜9时，S=-12x+126。
（4）①过点O作OD⊥AB于点D，由题意得OD=6
∵∠ABC=45°，∠ODB=90°
∴OB==6
∴x₁=（秒）
②过点O作OE⊥AB，交AB的延长线于点E，由题意得OE=6
∵∠OBE=45°，∠OEB=90°
∴OB==6
∴x₂=（秒）
故当x等于（9-）秒或（9+）秒时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切。