Question

如图，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=10cm．点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点O在△ABC的左侧，OC=5cm．以点O为圆心、cm长度为半径r的半圆O与直线BC交于D、E两点
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

解：（1）①如图1，当点E与点C重合时，
∵AC⊥DE，OC=OE=cm，
∴AC与半圆O所在的圆相切，
∵原来OC=5，
∴点O运动了（5-）cm，
∵点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动，
∴运动时间为：t=，
t=2（秒），
∴当t=2时，△ABC的边AC所在直线与半圆O所在的圆相切，
②如图2，经过t秒后，动圆圆心移动的为2t，而原来OB=OC+BC=15，此时动圆圆心到B的距离为（15-2t），
此时动圆圆心到AB的距离为（30度角所对的直角边等于斜边的一半），
而此时圆的半径是t，
则可得：=t，
解得：t=5．
③如图3，当圆与AC相切时，2t-5=t，解得：t=秒；
④如图4，当点O运动到B点的右侧，OB=2t-5-BC=2t-15，
∵在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，
∴OQ=OB=（2t-15）=t-，
圆O的半径是t，则t-=，解得：t=15．
总之，当t为2s，10s，s，15s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切．


（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与③所示的两种情形．
①如图②，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为5cm的扇形，所求重叠部分面积为：S_扇形EOM=π×5²=π（cm²）
②图③，当圆O与AC相切时，半径长是×=，
则半圆O在△ABC的内部，因而重合部分就是半圆O，则面积是：π（）²=．
分析：（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点E与点C重合时，AC与半圆相切，②当点O运动到点C时，AB与半圆相切，③当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切，④当点O运动到B点的右侧时，AB的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．
（2）在1中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S_△POB+S_扇形DOP．
点评：本题利用了直线与圆相切的概念，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式，锐角三角函数的概念求解．