Question

如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析：连接PM，设DP=x，则PC=4-x，根据平行线分线段成比例定理可得

PE

EA

=

PD

AM

，进而可得到

PE

PA

=

x

x+1

，利用三角形的面积公式可得到△MEP及△MPF的表达式，根据S=

x

x+1

+

4-x

5-x

即可得出结论．

解答：解：连接PM，设DP=x，则PC=4-x，
∵AM∥OP，
∴

PE

EA

=

PD

AM

，
∴

PE

PA

=

PD

PD+AM

，即

PE

PA

=

x

x+1

，
∵

S△MEP

S△APM

=

PE

PA

且S_△APM=

1

2

AM•AD=1，
∴S_△MPE=

x

x+1

，
同理可得，S_△MPF=

4-x

5-x

，
∴S=

x

x+1

+

4-x

5-x

=2-

1

x+1

-

1

5-x

=2-

6

-x2+4x+5

=2+

6

(x-2)2-9

≤2-

2

3

=

4

3

，
当x=2时，上式等号成立，
∴S的最大值为：

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查的是面积及等积变换，能根据题意作出辅助线，把四边形的面积转化为两个三角形的面积是解答此题的关键．