Question

求证：菱形四条边的中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上．

Answer 1

答案：
解析：

已知：如下图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点． 　　求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一圆上． 　　证明：连接OE，OF，OG，OH， 　　∵四边形ABCD为菱形， 　　∴AB＝BC＝CD＝AD，∴AC⊥BD， 　　又∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点， 　　∴OE＝OF＝OG＝OH＝AB， 　　∴E，F，G，H四点在以O为圆心的同一圆上． 　　分析：若E，F，G，H四个点在同一个圆上，根据圆的概念，它们应到定点的距离都等于定长，因为E，F，G，H是菱形各边的中点，根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到E，F，G，H到O点的距离都等于菱形边长的一半，此题得证． 　　小结：证明点共圆，只需证明这些点到定点的距离相等即可．