Question

10．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
解决问题：
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，已知AB=2$\sqrt{3}$，BC=3，M是AD边上的一点，将矩形ABCD沿CM折叠，点D恰好落在AB边上的点E处，求证：点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．

Answer 1

分析 （1）由∠A=∠B=∠DEC=45°，可求得∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°，可证得∠ADE=∠CEB，继而可得△ADE∽△BEC，则可证得结论；
（2）由在矩形ABCD中，已知AB=2$\sqrt{3}$，BC=3，将矩形ABCD沿CM折叠，点D恰好落在AB边上的点E处，可求得CE=CD=AB=2$\sqrt{3}$，然后利用三角函数的性质求得∠BCE=30°，继而可得∠A=∠B=∠MEC=90°，∠AEM=∠BCE=∠MCE=30°，然后证得△AEM∽△BCE∽△ECM，则可得点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．

解答 （1）解：点E是否是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．
理由：∵∠A=∠B=∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

（2）证明：∵在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=3，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，CD=AB=2$\sqrt{3}$，AD=BC=3，
由折叠的性质可得：∠MEC=∠D=90°，CE=CD=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠BCE=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BCE=30°，
∴∠MCE=∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCE=30°，∠BEC=90°-∠BCE=60°，
∴∠AEM=90°-∠BEC=30°，
∴∠A=∠B=∠MEC=90°，∠AEM=∠BCE=∠MCE=30°，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．

点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质以及三角函数等知识．注意充分理解“相似点”与“强相似点”的定义是关键．