Question

用你发现的规律解答下列问题．

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

┅┅
（1）计算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

=

5

6

．
（2）探究

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．（用含有n的式子表示）
（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

的值为

17

35

，n=

17

．
（4）求

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+

1

4×6

+…+

1

n×(n+2)

=

3n2+9n+4

2n2+6n+4

．（用含有n的式子表示）

Answer 1

分析：根据所给的等式可得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，据此可求出（1）、（2）的值；
（3）依据

1

n(n+2)

=

1

2

×（

1

n

-

1

n+2

）先展开，再合并，可化简3式，求出的结果等于

17

35

，进而可求n；
（4）依据

1

n(n+2)

=

1

2

×（

1

n

-

1

n+2

）先展开4式，再加减，最后通分相加即可．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

5

-

1

6

=1-

1

6

=

5

6

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）原式=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

×（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

，
根据题意可得：

n

2n+1

=

17

35

，
解得n=17；

（4）原式=

1

2

×（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

×[（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-（

1

3

+

1

4

+

1

5

…+

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）]
=

1

2

×（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

×[

3

2

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

3

4

-

1

2(n+1)(n+2)

=

3n2+9n+4

2n2+6n+4

．
故答案为：

5

6

；

n

n+1

；17；

3n2+9n+4

2n2+6n+4

点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分．同时注意最后结果应为最简分式．其中找出规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解本题的关键．