题目内容

如图，在Rt△OPQ中，∠POQ=90°，∠Q=30°，OP=4
3
．四边形ABCD是菱形，点A在边PQ上，B、C在边QO上（B点在C点的左侧），且∠ABC=60°．设BQ=x．
（1）试用含x的代数式表示菱形ABCD的边长；
（2）当点D在线段OP上时，求x的值；
（3）设菱形ABCD与△OPQ重合部分的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（4）连接PD、OD．对于不同的x值，请你比较线段OD与PD的大小关系，直接写出结论．
（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．
∴BA=BQ=x，即菱形的边长为x；（2分）

（2）如图①，在Rt△DCO中，
∵∠DCO=60°，CD=x，
∴CO=
1
2
x，
∴QO=QB+BC+CO=x+x+
1
2
x
在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4
3
，
∴QO=12．∴
5
2
x=12
x=
24
5
；（2分）

（3）如图①，过A作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH=
3
2
x
∴当0＜x≤
24
5
时，
y=x×
3
2
x=
3
2
x2（2分）
如图②，设CD与0P相关交于点E，AD与OP相交于点F．
在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
在Rt△DFE中，∠D=60°，
∴DF=
5x
2
-12，EF=
3
(
5x
2
-12)?
?当
24
5
＜x≤6时?，
y=
3
2
x2-
3
2
（
5x
2
-12）2=-
21
3
8
x2+30
3
x-72
3
；

（4）如图③，作OP的中垂线
当0＜x＜4时，OD＜DP；
当x=4时，OD=DP；
当4＜x≤6时，OD＞DP．
练习册系列答案
相关题目
如图，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA=AD，且OB=OC=OD=1，则该菱形的边长为（　　）
A．
1+
5
2
B．
5
-1
2
C．1D．2
已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F．
（1）求证：AD2=
1
2
DE•DB；
（2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE＜DE）的长是方程x2-3mx+2m2=0（m＞0）的两个根，且菱形ABCD的面积为6
3
，求EG的长．
如图：菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．
已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是______cm2．
已知：如图中，AD是∠BAC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB．
求证：四边形AEDF是菱形．
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
如图，菱形ABCD的对角线的长度分别为4、5，P是对角线AC上的一点，PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积是______．
用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（　　）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②⑤⑥

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