Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（，0），点B在抛物线上．

（1）点A的坐标为         ，点B的坐标为          ；

（2）抛物线的关系式为             ；

（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

（1）A（0，2）， B（，1）．

（2）．

（3）如图1，可求得抛物线的顶点D（）．

设直线BD的关系式为， 将点B、D的坐标代入，求得，，

∴ BD的关系式为．

设直线BD和x 轴交点为E，则点E（，0），CE=．

∴  △DBC的面积为．

 

（4）如图2，过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作轴于点P．

在Rt△AB′M与Rt△BAN中，

∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，

∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN．

∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′（1，）．

同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；

将点B′、C′的坐标代入，可知点B′、C′在抛物线上．

（事实上，点P与点N重合）