Question

如图，点D是等腰三角形ABC的斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D作DE⊥AB交边AC于点F，连结BE，∠E=30°，AB=4，设DE的长度为x，四边形DBCF的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它的定义域；
（2）连结BF，
①当△BDF与△EDB相似时，求出x的值；
②是否存在x的值，使得△BCF与△EDB相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）作CG⊥AB交于G，在直角△BDE中，利用三角函数求得BD的长，则AD的长即可求解，从而求得△ADF的面积，然后根据y=S_△ABC-S_△ADF即可求解；
（2）①△BDF与△EDB相似时，一定有∠DBF=∠E=30°，则可以利用x表示出BD和AD的长，则根据AB=AD+BD即可列方程求解；
②△BCF与△EDB相似，则一定有∠CBF=∠E=30°，在DE上取一点H，使FH=GE，连接FH，利用x表示AD、DH、HB的长，根据AB=AD+DH+HB即可列方程求解．

解答：解：（1）作CG⊥AB交于G，
∵等腰Rt△ABC，AB=4，
∴AG=BG=CG=2，
∵DE=x，DE⊥AB，∠E=30°，
∴BD=

3

3

x，AD=DF=4-

3

3

x，
∴S_△ADF=

1

2

AD•DF=

1

2

（4-

3

3

x）²，
又∵S_△ABC=

1

2

×4×2=4，
∴四边形DBCF的面积y=S_△ABC-S_△ADF=4-

1

2

（4-

3

3

x）²，
即y=-

1

6

x²+

4 3

3

x-4，（2

3

≤x＜4

3

）；
（2）①△BDF与△EDB相似时，一定有∠DBF=∠E=30°，
在直角△DEF中，DE=

3

DF=

3

x，
在直角△ADF中，AD=DF=x，
则

3

x+x=4，
解得：x=2

3

-2；
②△BCF与△EDB相似，则一定有∠CEF=∠E=30°，
则∠DEF=45°-30°=15°．
在DE上取一点H，使FH=GE，连接FH．
则∠DHF=30°．
DF=x，则HF=HE=

x

sin30°

=2x，DH=

x

tan30°

=

3

x，
则AB=x+

3

x+2x=4，
解得：x=

4

3+ 3

=

2(3- 3 )

3

．

点评：本题考查了相似三角形的性质，在△BCF与△EDB相似，正确作出辅助线是解题的关键，本题应用了方程的思想．