题目内容
已知平面区域上，坐标x，y满足|x|+|y|≤1（1）画出满足条件的区域L，并求出面积S；
（2）对区域L作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2，…经过无数次后，求所有圆的面积的和．
（提示公式：
）
【答案】分析：（1）根据绝对值的性质去掉绝对值号，作出|x|+|y|≤1的线性规划区域即可得到区域L，然后根据正方形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可；
（2）求出M1、M2的面积，然后根据求解规律，后一个圆得到面积等于前一个圆的面积的
，然后列式，再根据等比数列的求和公式求解即可．
解答：
解：（1）如图，|x|+|y|≤1可化为，
x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四边形ABCD就是满足条件的区域L是正方形，
S=
×AC×BD=
×（1+1）×（1+1）=2；
（2）如图，∵A0=1，
∴⊙M1的半径为：1×sin45°=
，
∴内切圆M1的面积是：π（
）2=
π，
同理可得：⊙M2的半径为：
×sin45°=（
）2，
∴内切圆M2的面积是：π[（
）2]2=
π×
=π（
）2，
⊙M3的半径为：（
）2×sin45°=（
）3，
内切圆M3的面积是：π[（
）3]2=
π×（
）2=π（
）3，
…
以此类推，经过n次后，⊙Mn的面积为π（
）n，
∴所有圆的面积的和=
π+π（
）2+π（
）3+…+π（
）n=
=π[1-（
）n]．
故答案为：（1）2，（2）π[1-（
）n]．
点评：本题综合考查了一次函数与圆的面积的问题，作出图形，求出后一个圆的半径等于前一个圆的半径的
倍是解题的关键．
（2）求出M1、M2的面积，然后根据求解规律，后一个圆得到面积等于前一个圆的面积的
，然后列式，再根据等比数列的求和公式求解即可．解答：
解：（1）如图，|x|+|y|≤1可化为，x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四边形ABCD就是满足条件的区域L是正方形，
S=
×AC×BD=×（1+1）×（1+1）=2；（2）如图，∵A0=1，
∴⊙M1的半径为：1×sin45°=
，∴内切圆M1的面积是：π（
）2=π，同理可得：⊙M2的半径为：
×sin45°=（）2，∴内切圆M2的面积是：π[（
）2]2=π×=π（）2，⊙M3的半径为：（
）2×sin45°=（）3，内切圆M3的面积是：π[（
）3]2=π×（）2=π（）3，…
以此类推，经过n次后，⊙Mn的面积为π（
）n，∴所有圆的面积的和=
π+π（）2+π（）3+…+π（）n==π[1-（）n]．故答案为：（1）2，（2）π[1-（
）n]．点评：本题综合考查了一次函数与圆的面积的问题，作出图形，求出后一个圆的半径等于前一个圆的半径的
倍是解题的关键． 
练习册系列答案
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