题目内容

已知平面区域上，坐标x，y满足|x|+|y|≤1
（1）画出满足条件的区域L₀，并求出面积S；
（2）对区域L₀作一个内切圆M₁，然后在M₁内作一个内接与此圆与L₀相同形状的图形L₁，在L₁内继续作圆M₂，…经过无数次后，求所有圆的面积的和．
（提示公式： $数学公式$ $数学公式$ ）

解：（1）如图，|x|+|y|≤1可化为，
x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四边形ABCD就是满足条件的区域L₀是正方形，
S= $\text{[math]}$ ×AC×BD= $\text{[math]}$ ×（1+1）×（1+1）=2；

（2）如图，∵A0=1，
∴⊙M₁的半径为：1×sin45°= $\text{[math]}$ ，
∴内切圆M₁的面积是：π（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ π，
同理可得：⊙M₂的半径为： $\text{[math]}$ ×sin45°=（ $\text{[math]}$ ）²，
∴内切圆M₂的面积是：π[（ $\text{[math]}$ ）²]²= $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ =π（ $\text{[math]}$ ）²，
⊙M₃的半径为：（ $\text{[math]}$ ）²×sin45°=（ $\text{[math]}$ ）³，
内切圆M₃的面积是：π[（ $\text{[math]}$ ）³]²= $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²=π（ $\text{[math]}$ ）³，
…
以此类推，经过n次后，⊙M_n的面积为π（ $\text{[math]}$ ）ⁿ，
∴所有圆的面积的和= $\text{[math]}$ π+π（ $\text{[math]}$ ）²+π（ $\text{[math]}$ ）³+…+π（ $\text{[math]}$ ）ⁿ= $\text{[math]}$ =π[1-（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]．
故答案为：（1）2，（2）π[1-（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]．
分析：（1）根据绝对值的性质去掉绝对值号，作出|x|+|y|≤1的线性规划区域即可得到区域L₀，然后根据正方形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可；
（2）求出M₁、M₂的面积，然后根据求解规律，后一个圆得到面积等于前一个圆的面积的 $\text{[math]}$ ，然后列式，再根据等比数列的求和公式求解即可．
点评：本题综合考查了一次函数与圆的面积的问题，作出图形，求出后一个圆的半径等于前一个圆的半径的 $\text{[math]}$ 倍是解题的关键．