Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：

若b′=，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．

（1）点（，﹣1）理想点的坐标是_____；若点C在函数y=2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？_____；

（2）若点P在函数y=﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：

①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；

②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y=（m＜0，x＞0）上，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（，1） （1，﹣2）

【解析】

（1）根据理想点的定义即可求出点（，﹣1）理想点的坐标；求出A（1，﹣2），B（﹣1，2）的理想点，代入y=2x2验证即可；

（2）①点P在函数y=﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q必在函数上，画出图像，结合图像即可求出k的取值范围；②求出y=2x﹣4与直线y=﹣x的交点坐标为（，﹣），代入y=，求得m=﹣，由反比例函数图像的性质可求出m的取值范围.

（1）点（，﹣1）理想点的坐标是（，1），

∵当点C为（1，2）时，在抛物线上，其的理想点为（1，﹣2），

当点C为（-1，2）时，在抛物线上，其的理想点为（-1，﹣2），

∴点C在函数y=2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2）

故答案为（，1），A（1，﹣2）；

（2）①如图1中，点P在函数y=﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q必在函数上，

∵理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，

观察图象可知﹣2k≤7．

当反比例函数经过（-2,8）点时，m=-16∴反比例函数的解析式y=﹣，

由反比例的图象性质可知，当m＜﹣16时，点P的理想点Q都不在反比例函数y=（m＜0，x＞0）上．