题目内容

如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，其中点A、B、C三点的坐标分别为（1，2 $数学公式$ ），（-1，0），（3，0），点D为BC中点，P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合），连接PB、PD，则△PBD周长的最小值是

A.
2 $数学公式$ +2
B.
3 $数学公式$ +2
C.
4 $数学公式$
D.
2 $数学公式$ +3

A
分析：首先根据给出的点的坐标判定三角形ABC是等边三角形，作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．
解答：

解：如图，作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．
∵A、B、C三点的坐标分别为（1，2 $\text{[math]}$ ），（-1，0），（3，0），点D为BC中点，
∴AB= $\text{[math]}$ =4，BC=4，AC= $\text{[math]}$ =4，
∴△ABC是等边三角形，
从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=4，所以BD=2，
BE=2 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
因为∠DBF=30°，所以DF= $\text{[math]}$ BD=1，BF= $\text{[math]}$ ，EF=BE-BF=4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，DE= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
所以△PBD的周长的最小值是2+2 $\text{[math]}$ ，
故选A．
点评：本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的灵活运用，解本题的关键是作出恰当的图形，并且根据勾股定理求各边长．