Question

（2013•宜兴市一模）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，其中点A、B、C三点的坐标分别为（1，2

3

），（-1，0），（3，0），点D为BC中点，P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合），连接PB、PD，则△PBD周长的最小值是（　　）

• A．2

  7

  +2
• B．3

  2

  +2
• C．4

  3

• D．2

  5

  +3

Answer 1

分析：首先根据给出的点的坐标判定三角形ABC是等边三角形，作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．

解答：解：如图，作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．
∵A、B、C三点的坐标分别为（1，2

3

），（-1，0），（3，0），点D为BC中点，
∴AB=

12+4

=4，BC=4，AC=

12+4

=4，
∴△ABC是等边三角形，
从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=4，所以BD=2，
BE=2

42-22

=4

3

，
因为∠DBF=30°，所以DF=

1

2

BD=1，BF=

3

，EF=BE-BF=4

3

-

3

=3

3

，DE=

DF2+EF2

=2

7

，
所以△PBD的周长的最小值是2+2

7

，
故选A．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的灵活运用，解本题的关键是作出恰当的图形，并且根据勾股定理求各边长．