Question

以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．
（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；
（2）如图②，当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；
（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB=AD=10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；
（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．

解答：解：（1）连接OC．
∵C为DB中点，
∴OC=BC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°；

（2）连接DA．
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD=10，
∵DE=8，DE⊥AB，
∴AE=6，
∴BE=4，
∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠EAF，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴

EF

EB

=

AE

DE

，
∴EF=3；

（3）①当交点E在O、A之间时，
若∠EOF=∠BAC，此时

OE

AC

=

EF

BC

，则OE=

5

3

；
若∠EOF=∠ABC，此时

OE

BC

=

EF

AC

，则OE=

5

2

；
②当交点E在O、B之间时，OE=

-15+5 17

4

．
综上所述，OE=

5

2

或

5

3

或

-15+5 17

4

．

点评：考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．