Question

如图，平面直角坐标系中，A（-2，0），B（8，0），以AB为直径作半圆⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD．
（1）求C、M两点的坐标；
（2）连CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由．
（3）在x轴上是否存在一点Q，使△QMC周长最小？若存在，求出Q的坐标及△QMC最小周长；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质得出BC=AB=10，得出C点坐标，进而利用勾股定理求出OM的长，即可得出答案；
（2）利用已知得出，CM²+MP²=CP²，即可得出CM与⊙P相切；
（3）利用轴对称性质得出Q点的位置，进而利用勾股定理求出答案．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（8，0），
∴AB=10．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10）．       
连接MP
在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）；

（2）CM与⊙P相切，
理由：连接PC，在Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP²=125．
在Rt△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM²=100．
∵100+25=125，
∴△CMP中，CM²+MP²=CP²，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM与⊙P相切．

（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周长最小，即要使MQ+QC最小．
故作M关于x轴对称点M′，连CM′交x轴于点Q，连MQ，此时，△QMC周长最小．
∵C（8，10），M′（0，-4），
设直线CM′：y=kx+b（k≠0）
∴

8k+b=10 b=-4

，
∴

k= 7 4 b=-4

，
∴y=

7

4

x-4，
当y=0时，x=

16

7

，
∴Q（

16

7

，0）
∵x轴垂直平分MM′，
∴QM=QM′，
∴MQ+QC=M'Q+QC=M′C．         
在Rt△CEM′中，CE=8，EM′=14，
∴CM′=2

65

，MC=10，
∴△QMC周长最小值为：2

65

+10．
∴存在符合题意的点，此时△QMC周长最小值为2

65

+10．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及利用轴对称求最小值问题和待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知得出对称点Q的位置是解题关键．