Question

【题目】如图，直线l1解析式为y=x+2，且与坐标轴分别交于A、B两点，与双曲线交于点P（﹣1，1）．点M是双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D，当四边形ABCD的面积取最小值时，则点M的坐标为（　　）

A. （1，﹣1） B. （2，﹣） C. （3，﹣） D. 不能确定

Answer 1

【答案】A

【解析】

先求出A、B两点的坐标，有P（﹣1，1）在反比例函数图象上求得解析式为y，设M点横坐标为a，进而可得M点坐标（a，）；再设直线l2的解析式为y=bx+c，根据条件“过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点”，将M点坐标代入直线l2的解析式，求得用a表示的C、D两点坐标．由A、B、C、D四点坐标，可得AC、BD的长，因为AC⊥BD，有S四边形ABCDACBD，据此得到一个关于a的式子，通过化简、配方即可求得S四边形ABCD的最小值，故可得出a的值，由此得出结论．

∵直线l1解析式为y=x+2，且与坐标轴分别交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，2）．

设反比例函数的解析式为y．

∵点P（﹣1，1）在反比例函数y的图象上，∴k=xy=﹣1，∴反比例函数的解析式为y．

∵点M在第四象限，且在反比例函数y的图象上，∴可设点M的坐标为（a，），其中a＞0．

设直线l2的解析式为y=bx+c，则ab+c，∴cab，∴y=bxab．

∵直线y=bxab与双曲线y只有一个交点，∴方程bxab即bx2﹣（ab）x+1=0有两个相等的实根，∴[﹣（ab）]2﹣4b=（ab）2﹣4b=（ab）2=0，∴ab，∴b，c，∴直线l2的解析式为y，∴当x=0时，y，则点D的坐标为（0，）；

当y=0时，x=2a，则点C的坐标为（2a，0），∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（）=2．

∵AC⊥BD，∴S四边形ABCDACBD（2a+2）（2）=4+2（a）=4+2[（）2+2]

=8+2（）2．

∵（）2≥0，∴S四边形ABCD≥8，∴当且仅当（）2=0，即a=1时，四边形有最小值，∴M（1，﹣1）．

故选A．