Question

【题目】如图．在中，，，，是的中位线，连结，点是边上的一个动点，连结交于，交于．

(1)当点是的中点时，求的值及的长

(2) 当四边形与四边形的面积相等时，求的长：

(3)如图2．以为直径作．

①当正好经过点时，求证：是的切线：

②当的值满足什么条件时，与线段有且只有一个交点．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）①见解析；②当或时，与线段有且只有一个交点．

【解析】

（1）根据题意得H为的重心，即可得的值，由重心和中位线的性质求得，由勾股定理求得的长，即可得的长；

（2）根据图中面积的关系得S四边形DCFG=，列出关系式求解即可得的长；

（3）根据与线段有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当与相切时，求得的值；当过点E，此时是与线段有两个交点的临界点，即可得出与线段有且只有一个交点时满足的条件．

解：（1）∵是的中位线，

∴分别是的中点，，

又∵点是的中点，

∴与的交点是的重心，

，即；，

∴，

在中，D为AC中点，，则，

∴DG为的中位线，G为AF的中点，

，

，

在中，，，，

，

则，

，

；

（2）∵四边形与四边形的面积相等，

∴S四边形DCFH+=S四边形BEGH+，

即S梯形DCFG=，

∵，，是的中位线，

∴，，

∵，

设，∵DG为的中位线，

∴，

则S梯形DCFG，

解得：，

；

（3）①证明：如图2，连结，

为的直径，经过点，

，

∴，为直角三角形，

为的中点，

，

．

又，

，

∴，即，

∴，即是的切线；

②如图3-1，当与相切时，与线段有且只有一个交点，

设的半径为r，圆心O到DE的距离为d，

∴当r=d时，与相切，

∵，，，

∴两平行线之间的距离为，

∴，

则，，

由得：，

；

如图3-2，当经过点时，连接、，

设的半径为，即，

∵G为AF的中点，O为CF的中点，

∴，

∴四边形COGD为平行四边形，

又∵，

∴四边形COGD为矩形，

∴，则，为直角三角形，

∴，，

则，

由勾股定理得：，即，

解得：，则，

，

由得：，

，

则当时，与线段有且只有一个交点；

综上所述，当或时，与线段有且只有一个交点．