Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，根据OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案；
（2）结合（1）中的结论，可以证明△BOD是等边三角形，即可求得CD和BD的长，再根据锐角三角函数即可计算DE的长．
解答：（1）证明：如图，连接OD．
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．    
∴∠0DE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠BAC=60°，
∠C=∠0DB．
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形．
∴∠C=∠ODB=60°，
CD=BD=5．
∵DE⊥AC，
∴DE=CD•sin∠C=5×sin60°=．
点评：本题考查了切线的判定与性质，用到的知识点是圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．