Question

如图：在等腰△ABC中，AB=AC，AD上BC，垂足为D，以AD为直径作⊙0，⊙0分别交AB、AC于E、F．
（1）求证：BE=CF；
（2）设AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10，求⊙0的半径．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）连接DE，DF，由AB=AC，且AD为BC边上的高，利用三线合一得到D为BC的中点，AD为顶角平分线，再由AD为圆O的直径，利用直角所对的角为直角得到一对直角相等，利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=CF，得证；
（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，确定出AE：AB=AF：AC，且夹角相等，得到三角形AEF与三角形ABC相似，由相似三角形的对应边成比例得到AG：AD=8：10，设AG=8x，AD=10x，连接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆O的半径．

解答：（1）证明：连接DE、DF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BD=CD，∠BAC=∠BAC，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
在△DBE和△DCF中，

∠BED=∠CFD=90° ∠B=∠C BD=CD

，
∴△DBE≌△DCF（AAS），
∴BE=CF；

（2）解：∵BE=CF，
∴AB-BE=AC-FC，即AE=AF，
∵

AE

AB

=

AF

AC

，且∠BAC=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AG

AD

=

EF

BC

=

8

10

，
∴设AG=8x，AD=10x，
连接EO，在Rt△OEG中，根据勾股定理得：OE²=OG²+EG²，
即（5x）²=（3x）²+4²，
解得：x=1，
∴5x=5，
则⊙O的半径为5．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．