Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．设抛物线的顶点为D，连结CD、DB、AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）设Q是抛物线上一点，连结BC、QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）因为抛物线经过点A和点C，所以把点A和点C的坐标代入抛物线的解析式中得到关于b和c的方程，联立解出b和c，即可得到抛物线的解析式；
（2）令y=0即可求出点B的坐标，进而得出D点坐标，再分割四边形求出即可；
（3）若四边形QBQ′C为菱形，根据菱形对角线的性质得到QQ′垂直平分BC，得到点Q在线段BC的垂直平分线上，由OB等于OC得到直线QQ′平分角COB，即可求出QQ′的解析式为y=x，将y=x与抛物线的解析式联立即可求出Q的坐标．

解答：解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：

-1-b+c=0 c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，

（2）如图1，过点D作DE⊥OB于点E，
令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0），
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D点坐标为：（1，4），
∴四边形ABDC的面积=S_△AOC+S_梯形COED+S_△DEB
=

1

2

×AO×CO+

1

2

（CO+DE）×EO+

1

2

×EB×DE，
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4，
=

3

2

+

7

2

+4，
=9；

（3）如图2，若四边形QBQ′C为菱形，则QQ′垂直平分BC，
∴点Q在线段BC的垂直平分线上，
∵OC=OB，
∴直线QQ′平分∠BOC，
即：直线QQ′的解析式为y=x，
∵点Q在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x，
解得x=

1± 13

2

，
∴Q（

1+ 13

2

，

1+ 13

2

）或（

1- 13

2

，

1- 13

2

）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式以及两三角形相似的证明方法等知识，利用数形结合的数学思想得出是解题关键．