Question

3．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE=EF-DC；④BE²+DC²=DE²
其中正确的选项是①④（填序号）

Answer 1

分析 首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可求得①正确；根据勾股定理与等量代换可得④正确；由三角形的三边关系可得③错误；②无法判断，所以错误．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠BAF=CAD，AF=AD，BF=CD，∠ABF=∠C=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠EAD，∠EBF=90°，
∴△AED≌△AEF，①正确，
∴DE=EF，
在△BEF中，BE+BF＞EF，
∴BE+CD＞EF，③错误，
在Rt△BEF中，BE²+BF²=EF²，
∴BE²+DC²=DE²；④正确；
∴正确的选项是：①④．

点评 此题考查了相似三角形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质．此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析．