Question

如图，在平面直角坐标系中，过A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线交y轴于点C，其顶点为点D，设△ACD的面积为S₁，△ABC的面积为S₂．小芳经探究发现：S₁：S₂是一个定值．则这个定值为

 

．

Answer 1

分析：设二次函数的解析式是y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，即可求得C的坐标，表示出S₂的值，然后利用待定系数法求得AD的解析式，进而求得EO的值，得到CE的长，根据三角形面积公式即可求得S₁，进而求解．

解答：解：设二次函数的解析式是y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a．
令x=0，解得：y=-3a，则OC=3a．
∴S₂=

1

2

AB•OC=

1

2

×4•3a=6a；
∵D是抛物线的顶点．
∴D的横坐标是：

1

2

（-1+3）=1，把x=1代入二次函数解析式得：y=-4a，则D的坐标是（1，-4a）．
设直线AD的解析式是y=kx+b．
根据题意得：

-k+b=0 k+b=-4a

解得：k=b=-2a
则直线AD的解析式是：y=-2ax-2a．
在y=-2ax-2a中，令x=0，解得：y=-2a．
则CE=3a-2a=a．
∴S₁=S_△ACE+S_△CDE=

1

2

CE×a+

1

2

CE×a=a．
∴S₁：S₂=a：6a=

1

6

．
故答案是：

1

6

．

点评：本题是二次函数与三角形的综合应用，正确设出二次函数的解析式，表示出两个三角形的面积是解题的关键．