Question

已知二次函数y=x²+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点．
（1）求该二次函数的图象的顶点坐标；
（2）若P（n，y₁），Q（n+2，y₂）是该二次函数的图象上的两点，且y₁＞y₂，求实数n的取值范围．

Answer 1

解：（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0．
∴函数图象的顶点坐标为（-1，0），
或：∵与x轴有且只有一个公共点，∴2²-4m=0，
∴m=1，
∴函数y=x²+2x+1=（x+1）²，
∴函数图象的顶点坐标是（-1，0）；

（2）∵P（n，y₁），Q（n+2，y₂）是该二次函数的图象上的两点，且y₁＞y₂，
n²+2n+1＞（n+2）²+2（n+2）+1，
化简整理得，4n+8＜0，
∴n＜-2，
∴实数n的取值范围是n＜-2．
分析：（1）根据首先可以利用顶点式表示出二次函数的顶点坐标，再利用图象与x轴有且只有一个公共点，则顶点的纵坐标为0，故函数图象的顶点坐标为（-1，0），
（2）将n，n+2代入二次函数解析式即可得出n的取值范围．
点评：本题考查了抛物线和x轴的交点问题以及不等式解法，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，二次函数y=ax²+bx+c顶点坐标为（-，），对称轴x=-．