题目内容

如图，把抛物线y=-x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1，l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．
（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；
（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．
（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED？如果存在，求出M点的坐精英家教网标；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到l1的解析式；
由于l1、l2关于y轴对称，那它们的顶点坐标关于y轴对称，而开口大小、开口方向、与y轴的交点都相同，据此可求出l2的解析式；
（2）根据轴对称的性质，很明显的可以看出四边形PQCD是等腰梯形；若P为l1的对称轴与抛物线l2的交点时，PQ=CD，此时四边形PQCD是矩形；
（3）根据抛物线l1的解析式，可求出A、D、E的坐标，进而可求得梯形AOED的面积，即可得到△ABM的面积，由于AB是定长，那么根据△ABM的面积即可求出M点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线l1的解析式中，即可求得M点的坐标．
解答：精英家教网解：（1）l1：y=-（x-1）2+1（或y=-x2+2x），（1分）
l2：y=-（x+1）2+1（或y=-x2-2x）；（2分）

（2）以P，Q，C，D为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，（3分）
理由：∵点C与点D，点P与点Q关于y轴对称，
∴CD∥PQ∥x轴．
①当P点是l2的对称轴与l1的交点时，点P，Q的坐标分别为（-1，-3）和（1，-3），而点C，D的坐标分别为（-1，1）和（1，1），
所以，CD=PQ，CP⊥CD，四边形CPQD是矩形；（4分）
②当P点不是l2的对称轴与l1的交点时，根据轴对称性质，
精英家教网有：CP=DQ（或CQ=DPS），但CD≠PQ，
∴四边形CPQD（四边形CQPD）是等腰梯形．（5分）

（3）存在，设满足条件的M点坐标为（x，y），连接MA，MB，AD，依题意得：
A（2，0），B（-2，0），E（0，1），
S梯形AOED=
(1+2)×1
2
=
3
2
，（6分）
①当y＞0时，S△ABM=
1
2
×4×y=
3
2
∴y=
3
4
，（7分）
将y=
3
4
代入l1的解析式，解得：x1=
3
2
，x2=
1
2
，
∴M1(
3
2
，
3
4
)，M2(
1
2
，
3
4
)，（8分）
②当y＜0时，S△ABM=
1
2
×4×(-y)=
3
2
∴y=-
3
4
，（9分）
将y=-
3
4
代入l1的解析式，解得x=1±
7
2
，
∴M3(
2+
7
2
，-
3
4
)，M4(
2-
7
2
，-
3
4
)． （10分）
点评：此题主要考查了二次函数图象的平移、轴对称的性质、等腰梯形及矩形的判定、图形面积的求法等知识的综合应用能力．
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A、点O1的坐标是（1，0）B、点C1的坐标是（2，-1）C、四边形OBA1B1是矩形D、若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3
精英家教网如图，把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的有（　　）个．
①点O1的坐标是（0，1）；②点C1的坐标是（2，-1）；③四边形OBA1B1是矩形；④若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3；⑤点A经过的路径长为3；⑥两阴影面积的和是π．
A、2B、3C、4D、5
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1
2
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1
2
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27
2
27
2
．
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2
个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　）

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