Question

如图：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动，问：
（1）几秒后△PDQ的面积为28cm²吗？
（2）几秒后△PBQ与△QCD相似？

Answer 1

分析：（1）可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出几个小三角形的面积，进而即可求解结论；
（2）要使三角形相似，即其对应边成比例，故利用对应边成比例，同样可得出三角形的相似．

解答：解：（1）可设x秒后其面积为28cm²，
即S_ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ=12×6-

1

2

×12x-

1

2

（6-x）•2x-

1

2

×6×（12-2x）=28，
解得x₁=2，x₂=4，
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28cm²．

（2）设运动y秒时，△PBQ与△QCD相似．
当△PBQ∽△QCD，∴

PB

QC

=

BQ

CD

，
即

6-y

12-2y

=

2y

6

，解得y=1.5或6，
当△PBQ∽△DCQ时，
则有

PB

DC

=

BQ

CQ

，
即

6-y

6

=

2y

12-2y

，
解得：y₁=9-3

5

，y₂=9+3

5

（不合题意舍去），
即1.5或6秒或9-3

5

秒后△PBQ与△QCD相似．

点评：本题主要考查矩形的性质及三角形面积的计算以及相似三角形的判定，能够熟练掌握矩形的性质并能进行一些简单的计算．