Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2

3

，∠DPA=45°．则图中阴影部分的面积为

π-2

．

Answer 1

分析：根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO=

1

2

AO=

1

2

OE，解直角三角形求解，再求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．

解答：解：连接OF．
∵直径AB⊥DE，
∴CE=

1

2

DE=

3

．
∵DE平分AO，
∴CO=

1

2

AO=

1

2

OE．
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO=

CO

EO

=

1

2

，
∴∠CEO=30°．
在Rt△COE中，
OE=

CE

cos30°

=

3

3 2

=2．
∴⊙O的半径为2．
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°-45°=45°．
∴∠EOF=2∠D=90°．
∴S_扇形OEF=

90

360

×π×2²=π．
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴S_Rt△OEF=

1

2

×OE×OF=2．
∴S_阴影=S_扇形OEF-S_Rt△OEF=π-2．
故答案为：π-2．

点评：此题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式．根据已知得出圆的半径是解题关键．