题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．当线段A′C′与射线BB1，有公共点时，求t的取值范围．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：AG：DE=DH：GE和AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）；
（3）分两种情况讨论，当A′落在射线BB1上时（如图甲）和当点C′落在射线BB1上时（如图乙），根据AA′=AB=5，求出t的值，再根据CC′∥AB，得出四边形ACC′B为平行四边形，求出CC′=AB=5，从而求出t的取值范围．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
32+42
=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2，
当AD＜AE（即t＜
3
2
）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG与△ACB相似，则
DE
EG
=
AC
BC
或
DE
EG
=
BC
AC
，
∴
3-2t
2
=
3
4
或
3-2t
2
=
4
3
，
∴t=
3
4
或t=
1
6
；
当AD＞AE（即t＞
3
2
）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG与△ACB相似，则
DE
EG
=
AC
BC
或
DE
EG
=
BC
AC
，
∴
2t-3
2
=
3
4
或
2t-3
2
=
4
3
，
解得t=
9
4
或t=
17
6
；
综上所述，当t=
3
4
或
1
6
，
9
4
或
17
6
时，△DEG与△ACB相似．

（3）当A′落在射线BB1上时（如图甲），
∵AA′=AB=5，
∴6t=5，
∴t=
5
6
；
当点C′落在射线BB1上时（如图乙），得CC′∥AB；
则四边形ACC′B为平行四边形，
∴CC′=AB=5，
∴6t-
18
5
=5，t=
43
30
．
∴t的取值范围
5
6
≤t≤
43
30
．
点评：此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．
练习册系列答案
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若关于x的不等式mx＞n的解集是x＜
3
5
，求关于x的不等式（2m-n）x+m-5n＞0的解集．
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3
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．
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比为2：5，每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？设应该分装大小瓶两种产品x瓶、y瓶，则可用二元一次方程组表示题中的数量关系为（　　）
A、
5y=2x
500x+250y=22500000
B、
x：y=2：5
500x+250y=22.5
C、
x：y=5：2
500x+250y=22.5
D、
x：y=2：5
500x+250y=22500000
在一次期中考试中，
（1）一个班级有甲、乙、丙三名学生，分别得到70分、80分、90分．这三名同学的平均得分是多少？
（2）一个班级共有40名学生，其中5人得到70分，20人得到80分，15人得到90分．求班级的平均得分．
（3）一个班级中，20%的学生得到70分，50%的学生得到80分，30%的学生得到90分．求班级的平均得分．
（4）中考的各学科的分值依次为：数学150分，语文150分，物理100分，政治50分，历史50分，合计总分为500分．
在这次期中考试中，各门学科的总分都设置为100分，现已知甲、乙两名学生的得分如下表：
学科 数学 语文 物理 政治 历史
甲 80 90 80 80 70
乙 80 80 70 80 95
你认为哪名同学的成绩更理想，写出你的理由．
计算题：
（1）
169
+
(-5)2
；            
（2）（
3
-
2
）0×
1
2
+
3-8
；
（3）（-2）2×
3
2
+（-6）2÷9-
(-2)2
+
3-
1
27
．
连一连：
已知关于x，y的二元一次方程组
2x+y=5k+6
x-2y=-17
．
（1）若k=1，求方程组的解；
（2）方程组的解为负数，求k的取值范围．
如图，△ABC中，∠1+∠2+∠3=
 
度，∠4+∠5+∠6=
 
度．

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