Question

17．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若∠EAB=30°，CF=2，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，欲证明CG是⊙O的切线，只要证明OC⊥CG即可．
（2）连接AC，先证明△AOC是等边三角形，求出AF、DF、AD，再根据CG∥AE得$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AD}{AG}$，由此即可计算．

解答 （1）证明：连接OC．
∵AE是弦，C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE．，
∵CG∥AE，
∴OC⊥GC，
∴CG是⊙O的切线．
（2）解：连接AC．
∵∠EAB=30°，CG∥AE，
∴∠G=∠EAB=30°，
∵CG是⊙O的切线，
∴∠GCO=90°，
∴∠COA=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO=60°，
∴∠CAF=30°，
可求∠ACD=30°，
∴AF=CF=2，
∵∠EAB=30°，
∴DF=1，AD=$\sqrt{3}$，
∵CG∥AE，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AD}{AG}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{AG}$，
∴AG=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂径定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，灵活运用圆的有关知识，属于中考常考题型．