Question

如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：

1

PC

=

1

2

(

1

PA

+

1

PB

)．

Answer 1

分析：根据C、E、O、D四点共圆，根据切割线定理可得：PC•PE=PD•PO，并且可以证得Rt△SPD∽Rt△OPS，即可证得PS²=PD•PO，
再根据切割线定理即可求解．

解答：证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；
连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，
于是PE=

PA+PB

2

因为C、E、O、D四点共圆，
所以PC•PE=PD•PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以

SP

PD

=

OP

PS

即PS²=PD•PO
而由切割线定理知PS²=PA•PB
所以PC•

PA+PB

2

=PA•PB
即

1

PC

=

1

2

(

1

PA

+

1

PB

)

点评：本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键．