Question

如图，直线y=3x+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，3），过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PB最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线y=3x+m交y轴于点B，求出m的值，可得出A的坐标，把A（-1，0），B（0，3），C（3，0）代入y=ax²+bx+c，即可得出抛物线的解析式，
（2）连接BC，交对称轴一点，此点就是点P，使PA+PB最小，求出直线BC的解析式，再利用对称轴为x=1，即可得出点P的坐标，
（3）利用①当AQ=AB时，△ABQ是等腰三角形，②当BQ=AB时，△ABQ是等腰三角形，③当BQ=AQ时，△ABQ是等腰三角形，分别求出点Q的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=3x+m交y轴于点B（0，3），
∴m=3，
∴直线y=3x+3，
∴A（-1，0），
把A（-1，0），B（0，3），C（3，0）代入y=ax²+bx+c，得

0=a-b+c c=3 0=9a+3b+c

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴抛物线的解析式y=-x²+2x+3，
（2）如图1，连接BC，交对称轴一点，此点就是点P，使PA+PB最小，

∵A，C关于对称轴对称，
∴此时PA+PB最小，
∵B（0，3），C（3，0）
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵对称轴为x=1，
∴P（1，2），
（3）存在
①如图2，当AQ=AB时，△ABQ是等腰三角形，

∵AB=

10

，
∴AQ=

OD2+DQ2

=

22+DQ2

=

10

∴DQ=±

6

，
∴Q₁（1，

6

），Q₂（1，-

6

），
②如图3，当BQ=AB时，△ABQ是等腰三角形，

∵OA=1，OQ=1
∴Q₃（1，0），
③如图4，当BQ=AQ时，△ABQ是等腰三角形，

设Q（1，t），
∵A（-1，0），B（0，3），
∴（1+1）²+t²=1²+（t-3）²，解得t=1，
∴Q₄（1，1）
综上的所述，Q₁（1，

6

），Q₂（1，-

6

），Q₃（1，0），Q₄（1，1）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．