Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点，其中点A（﹣1，0），抛物线与y轴交于点C，顶点为D．

（1）如图2，直线l是抛物线的对称轴，点P是直线l上一动点，是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

（2）如图3，连接BC，点M是直线BC上方的抛物线上的一个动点，当△MBC的面积最大时，求△MBC的面积的最大值；点N是线段BC上的一点，求MN+BN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）存在，点P的坐标为：（1，4）或（1，﹣2）或（1，）或（1，）；（2）

【解析】

（1）函数的对称轴x＝﹣＝1，则点B（3，0），即可求解；

（2）分PB为斜边、PC为斜边、BC为斜边三种情况，分别求解即可；

（3）△MBC的面积S＝×MN′×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x）＝﹣3x2+x，﹣3＜0，故S有最大值为，此时点M（，）；HN′＝BN′，MN+BN最小值＝MN′+N′H＝MH，即点N′为所求的点N，即可求解．

（1）函数的对称轴x＝﹣＝1，则点B（3，0），

则抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

存在，理由：

设：点P（1，m），

则PB2＝m2+4，PC2＝（m﹣3）2+1，BC2＝18，

①当PB为斜边时，则m2+4＝（m﹣3）2+1+18，解得：m＝4；

②当PC为斜边时，同理可得：m＝﹣2；

③当BC为斜边时，同理可得：m＝；

故点P的坐标为：（1，4）或（1，﹣2）或（1，）或（1，）；

（2）过点M作MN⊥x轴于点H，交BC于点N′，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，则∠CBA＝45°，

设点M（x，﹣x2+2x+3），则点N′（x，﹣x+3），

△MBC的面积S＝×MN′×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x）＝﹣3x2+x，

∵﹣3＜0，故S有最大值为，此时点M（，）；

HN′＝BN′，

MN+BN最小值＝MN′+N′H＝MH，即点N′为所求的点N，

故MN+BN最小值为＝MH＝yM＝．